Zahlensysteme

Das Dezimalsystem (Basis 10)

Das Dezimalsystem ist das uns vertraute Alltagssystem. Es verwendet 10 Ziffern: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Jede Position einer Ziffer hat einen Stellenwert, der einer Potenz von 10 entspricht.

Beispiel:
Die Zahl 365 lässt sich wie folgt zerlegen:
• 3 × 10² (Hunderterstelle) = 300
• 6 × 10¹ (Zehnerstelle) = 60
• 5 × 10⁰ (Einerstelle) = 5
—> Summe: 300 + 60 + 5 = 365

Warum Basis 10?
Historisch bedingt (10 Finger), aber mathematisch ist jede andere Basis ebenso möglich.

Das Binärsystem (Basis 2)

Computersysteme arbeiten mit dem Binärsystem, da es nur zwei Zustände kennt: 0 (aus/ falsch) und 1 (an/wahr). Jede Stelle entspricht einer Potenz von 2.

Beispiel:
Die Binärzahl 1011 lässt sich ins Dezimalsystem umrechnen:
• 1 × 2³ = 8
• 0 × 2² = 0
• 1 × 2¹ = 2
• 1 × 2⁰ = 1
—> Summe: 8 + 0 + 2 + 1 = 11 (dezimal)

Anwendung in der Digitaltechnik
Jede Binärziffer heißt Bit, 8 Bits bilden ein Byte. Binärzahlen sind die Grundlage aller digitalen Datenverarbeitung.

Das Hexadezimalsystem (Basis 16)

Da Binärzahlen sehr lang werden können, nutzt man zur kompakteren Darstellung oft das Hexadezimalsystem. Es verwendet 16 Ziffern: 0–9 und A–F (wobei A=10, B=11, …, F=15).

Beispiel:
Die Hex-Zahl 1F3 umgerechnet ins Dezimalsystem:
• 1 × 16² = 256
• F (15) × 16¹ = 240
• 3 × 16⁰ = 3
—> Summe: 256 + 240 + 3 = 499 (dezimal)

Praxisbezug: Farbcodes & Speicheradressen
Hexadezimalzahlen werden z. B. in der Webentwicklung für Farben (#FF5733) oder in der Informatik für Speicheradressen verwendet.

Umrechnung zwischen den Systemen

Dezimal → Binär

Methode: Fortlaufende Division durch 2
Beispiel: Umrechnung von 13 (dezimal) ins Binärsystem:
• 13 ÷ 2 = 6 Rest 1
• 6 ÷ 2 = 3 Rest 0
• 3 ÷ 2 = 1 Rest 1
• 1 ÷ 2 = 0 Rest 1
Ergebnis (rückwärts gelesen): 1101

Binär → Hexadezimal

Methode: Zusammenfassen zu 4er-Blöcken
Beispiel: Binär 11011010 → Hex:
• Aufteilung: 1101 (13 = D) und 1010 (10 = A)
• Ergebnis: DA

Warum sind diese Systeme wichtig?

• Dezimal: Menschliche Kommunikation & Alltagsmathematik.
• Binär: Digitale Schaltungen, Computerlogik.
• Hexadezimal: Vereinfachte Darstellung binärer Daten (z. B. in Programmierung).

Fundamentale Konzepte

Zahlensysteme sind fundamentale Konzepte der Mathematik und Informatik. Während das Dezimalsystem intuitiv ist, sind Binär- und Hexadezimalsysteme essenziell für die Technik. Durch das Verständnis ihrer Umrechnung und Anwendung erschließen sich tiefere Einblicke in die digitale Welt.