Binärsystem

Das Binärsystem (auch Dualsystem genannt) ist ein Zahlensystem, das nur zwei Ziffern verwendet: 0 und 1. Im Gegensatz zum vertrauten Dezimalsystem (Basis 10) arbeitet es mit der Basis 2. Diese scheinbar einfache Grundlage ist die Sprache der Computer, da sich elektronische Schaltungen besonders gut zwischen zwei Zuständen unterscheiden können: Strom ein (1) / Strom aus (0).

Grundlagen

Vergleich: Dezimal- vs. Binärsystem

Im Dezimalsystem (Basis 10) steht jede Ziffer für eine Potenz von 10:
Beispiel: 253₁₀
• 2 × 10² = 200
• 5 × 10¹ = 50
• 3 × 10⁰ = 3
→ 200 + 50 + 3 = 253

Im Binärsystem (Basis 2) steht jede Ziffer für eine Potenz von 2:
Beispiel: 1101₂
• 1 × 2³ = 8
• 1 × 2² = 4
• 0 × 2¹ = 0
• 1 × 2⁰ = 1
→ 8 + 4 + 0 + 1 = 13₁₀

Binäre Ziffern (Bits) und Bytes

• Ein einzelnes Bit (Binary Digit) ist die kleinste Informationseinheit (0 oder 1).
• 8 Bits bilden ein Byte (z. B. 01011011).
• Größere Einheiten:
• 1 Kilobyte (KB) = 1024 Bytes
• 1 Megabyte (MB) = 1024 KB… usw.

Umrechnung: Dezimal ↔ Binär

Stellenwerttabelle (8-Bit) – zur Umrechnung

Stelle (von rechts)	7	6	5	4	3	2	1	0
Potenz (2^Stelle)	2^7	2^6	2^5	2^4	2^3	2^2	2^1	2^0
Wert der Potenz	128	64	32	16	8	4	2	1
Binärziffer (0/1)

128 in → Dezimal ist in → Binär → 10000000

Dezimal zu Binär (Modulo-Rechnung – Divisionsmethode)

Man teilt die Dezimalzahl wiederholt durch 2 und notiert die Reste:

Beispiel: 29₁₀ in Binär umwandeln

Division	Quotient	Rest
29 ÷ 2	14	1
14 ÷ 2	7	0
7 ÷ 2	3	1
3 ÷ 2	1	1
1 ÷ 2	0	1

→ Rest von unten nach oben lesen: 11101₂

Binär zu Dezimal (Potenzmethode)

Jede Binärziffer wird mit ihrer Stellenwertigkeit (2⁰, 2¹, 2², …) multipliziert:

Beispiel: 1011₂ in Dezimal umrechnen
• 1 × 2³ = 8
• 0 × 2² = 0
• 1 × 2¹ = 2
• 1 × 2⁰ = 1
→ 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

Anwendungen in der Informatik

Digitale Schaltungen & Prozessoren
• Jede logische Operation (UND, ODER, XOR) basiert auf binären Eingängen.
• Ein Bit entspricht einer Transistorschaltung (ein/aus).

Speicherdarstellung
• Texte werden in ASCII oder Unicode codiert (z. B. „A“ = 01000001₂).
• Bilder bestehen aus Pixelwerten (z. B. 1 = weiß, 0 = schwarz in Schwarz-Weiß-Bildern).

Netzwerke & Datenübertragung
• Datenpakete werden als Bitfolgen übertragen.
• Bandbreite wird in Bit/s gemessen (z. B. 100 Mbit/s).

Erweiterte Konzepte

Hexadezimalsystem (Basis 16)

Da Binärzahlen lang sind, nutzt man oft Hexadezimal (0–9, A–F) als Abkürzung:
• Beispiel: 11011011₂ → DB₁₆
(jede 4-Bit-Gruppe wird zu einer Hex-Ziffer: 1101=D, 1011=B)

Gleitkommazahlen (IEEE 754)
Auch Kommazahlen werden binär dargestellt, z. B. durch Aufteilung in Vorzeichen, Exponent, Mantisse.

Warum ist das Binärsystem so wichtig?

Das Binärsystem ist die Grundlage aller modernen Computer, weil es technisch einfach umsetzbar ist. Obwohl es für Menschen ungewohnt erscheint, ermöglicht es die präzise Steuerung elektronischer Systeme. Mit diesem Wissen können Sie nun tiefere Themen wie Programmierung, Datenkompression oder Kryptographie verstehen.